2. 行列とその基本的な演算

前回の記事では、データの基本的な表現単位であるベクトルについて学びました。今回はその概念を拡張し、複数のベクトルをまとめて扱うための強力なツール、行列 (Matrix) について解説します。

行列の定義

行列とは、数や記号を長方形の形に並べたものです。$m$個の行と$n$個の列を持つ行列 $A$ は $m \times n$ 行列 と呼ばれ、以下のように表現されます。

ここで、$a_{ij}$ は行列$A$の$i$行目、$j$列目の要素を指します。 ベクトルは、列数が1 ($n=1$) の行列（列ベクトル）や、行数が1 ($m=1$) の行列（行ベクトル）と見なすことができます。

データサイエンスにおける行列の役割

行列は、単に数を並べたものではなく、データサイエンスにおいて中心的な役割を果たします。

1. データセットの表現

一般的なデータセットは、$m$個のサンプル（データ点）と$n$個の特徴量から構成されます。これは、$m \times n$ 行列として自然に表現できます。各行が1つのサンプル（特徴ベクトル）に対応し、各列が1つの特徴量に対応します。このような行列は計画行列 (design matrix) やデータ行列と呼ばれます。

2. 線形変換

行列の最も強力な役割の一つが、線形変換 (linear transformation) です。行列 $A$ をベクトル $\vec{x}$ に掛ける（作用させる）と、新しいベクトル $\vec{b}$ が得られます。

これは、ベクトル $\vec{x}$ を別のベクトル $\vec{b}$ に「変換」または「写像」する操作と解釈できます。この変換は、データの回転、拡大・縮小、射影などを含み、主成分分析（PCA）やニューラルネットワークの各層での計算の基礎となります。

行列の基本的な演算

1. 和とスカラー倍

同じサイズの行列同士は、対応する要素を足し合わせることで和を計算できます。スカラー倍も、全要素にそのスカラーを掛けるだけで、ベクトルと同様です。

2. 行列の積

行列の積は、データサイエンスで最も頻出する演算の一つであり、単純な要素ごとの積ではないため注意が必要です。$m \times n$ 行列 $A$ と $n \times p$ 行列 $B$ の積 $C = AB$ は、$m \times p$ 行列になります。

$C$ の $i$行$j$列目の要素 $c_{ij}$ は、$A$ の $i$番目の行ベクトルと $B$ の $j$番目の列ベクトルの内積によって計算されます。

注意点: 行列の積は一般に可換ではありません。つまり、$AB \neq BA$ です。

特別な行列

1. 転置行列 (Transpose Matrix)

行列 $A$ の行と列を入れ替えて得られる行列を転置行列といい、$A^T$ で表します。$(A^T)_{ij} = A_{ji}$ が成り立ちます。統計学や機械学習の数式で頻繁に登場します。

2. 単位行列 (Identity Matrix)

対角成分がすべて1で、それ以外の成分がすべて0である正方行列（行と列の数が等しい行列）を単位行列といい、$I$ で表します。どのような行列 $A$ に対しても、$AI = IA = A$ が成り立つ、積における「1」のような存在です。

まとめ

行列は、複数のデータをまとめて効率的に扱うための数学的な構造です。データセットそのものを表現するだけでなく、線形変換という形でデータを操作・変換する強力な機能を提供します。特に行列の積は、多くのアルゴリズムの根幹をなす演算であり、その計算方法と性質を理解することは不可欠です。