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2025

物理学のためのリーマン幾何学

一般相対性理論の学習で挫折しがちなリーマン幾何学を、物理的な直観と幾何学的なイメージを重視して解説する入門書を作成しました。
イジングモデルのモンテカルロシミュレーション：Python

学部2年3年で苦戦したこの問題に、今なら答えられます！
ボルツマン分布はどうして指数関数になるのか？数値シミュレーションで確かめてみた

気体や液体の中の無数の粒子たち。そのエネルギー分布はなぜか綺麗な「指数関数」の形をしています。この一見不思議な法則の裏に隠された単純な確率のルールとは？身近なモデルへの置き換えからPythonでの数値シミュレーションまで、実際に確かめてみました。
統計力学で解き明かす！気体入り円筒は本当に「回しにくい」のか？

回転する円筒に閉じ込められた気体の慣性モーメントを統計力学的に計算し、「気体入り円筒」と「空洞円筒」のどちらが回しやすいかを比較・考察します。遠心力と熱運動の綱引きが鍵となります。
ガロア理論への招待

5次方程式が解けないことへのおおまかな流れと、ガロア理論の応用の話をまとめました。
代数操作（式の変形）

Sympy を用いた式の展開、因数分解、部分分数分解、簡約、有理化などの基本的な式変形を演習問題で学ぶ記事。
多項式演算

Sympy の Poly オブジェクト、根の計算、GCD/LCM、整数の素因数分解、Gröbner basis など多項式操作を演習問題で扱う記事。
関数の描画

Sympy の plot、plot_parametric、plot_implicit を使った関数の可視化演習問題をまとめる記事。
方程式・連立方程式の解法

solve、solveset、solve_poly_system を用いた一次方程式、連立線形・多項式方程式の解法を演習問題形式で学ぶ記事。
線形代数（行列操作）

Matrix、det、inv、eigenvals、eigenvects、LUdecomposition、QRdecomposition、gauss_jordan_solve を演習問題で扱う記事。
シンボリック和・積

summation と product を用いた有限・無限和および積の計算演習を行う記事。
代数的数・最小多項式

minimal_polynomial による代数的数の最小多項式導出と nsimplify を使った数値→記号復元の演習問題記事。
その他の便利機能

collect、coeff、fraction、solve_univariate_inequality、simplify_logic などの便利関数を演習問題形式で紹介する記事。
超流動の渦にはマグヌス力が生じる話

超流動では渦が生じます。この渦はマグヌス力による運動を示すことが知られていますが、それを実際に場の量子論の立場から導出してみようというのが本書の狙いです。
微分方程式　数値解法ハンドブック

微分方程式の数値計算にお悩みのそこのあなた！ハンドブックはいかがですか？
1. ベクトル空間とデータ表現の基礎

データサイエンスの数学的基盤であるベクトルについて、その厳密な定義から、内積やノルムといった重要な演算、そして特徴量や埋め込み表現としての役割を詳細に解説します。
2. 行列とその基本的な演算

ベクトルを拡張した概念である行列を定義し、データセットの表現や線形変換としての役割を解説します。また、データサイエンスで必須となる行列の積などの基本的な演算についても詳述します。
3. 固有値・固有ベクトルとその応用

行列による線形変換の本質を明らかにする固有値と固有ベクトルを定義し、データサイエンスにおける最も重要な応用例である主成分分析（PCA）との関係を解説します。
4. 微分と勾配降下法の考え方

機械学習モデルが「学習」するプロセスの根幹をなす最適化の概念を解説し、その中核技術である勾配降下法における微分の役割を詳述します。
5. 偏微分と多変数関数への拡張

前回の微分を多変数関数へ拡張した偏微分を定義し、その幾何学的な意味を解説します。また、勾配ベクトルがなぜ偏微分から構成されるのかを詳述し、機械学習の最適化におけるその役割を明らかにします。
6. 記述統計：平均、分散、標準偏差

データ分析の第一歩である記述統計学の基本を解説します。平均などの代表値でデータの中心を、分散や標準偏差といった散布度でデータのばらつきを定量化する方法を学びます。
7. 確率分布と正規分布

不確実性を数学的にモデル化する確率分布の概念を導入し、その中でも特に重要な正規分布について解説します。中心極限定理を通じて、なぜ正規分布が自然界やデータサイエンスで頻出するのかを理解します。
8. 仮説検定とp値

データから得られた差が「偶然」なのか「意味のある差」なのかを判断する、仮説検定とp値の考え方を解説します。
連続関数のうち、微分可能な関数を引き当てる確率は？

ベールの範疇定理などを用いて、関数空間の構造を解析するような上記の問いに答えてみました。
物理学のためのリー群と表現論

物性物理への応用を見据えて、リー群の表現論の文章を作成しました。
接続の幾何学

物性物理への応用を見据えて、接続の幾何学の文章を作成しました。
趣味の数理シミュレーション

選挙が近づいてきましたね
ド・ラームコホモロジー入門

量子幾何学の数学的基礎や、物理学のきれいな記述方法として登場するド・ラームコホモロジーの入門PDFを作成しました。
太陽光にさらされる物質が、どうして温度一定になるのか？

夏場の暑い中、太陽光に当たり続ける物質がどうして温度無限大にならないのか気になったので、ちょっと勉強してみました。その鍵は黒体放射でした。
分数量子ホール効果に潜む数論とトポロジカル秩序の圏論的記述

AIに作成してもらいました。自分の勉強の記録用の記事として残しておきます。
経路積分から見えるベリー接続と量子計量テンソル

波動関数の幾何学的性質──ベリー接続や量子計量テンソル──は、経路積分の視点からどう現れるのでしょうか？幾何位相と情報量を結ぶこの構造を、経路積分で導く視点から解説します。
リーマンの明示公式で素数階段を再現してみた！

一見ランダムに並ぶ素数。その分布を表す「素数階段」が、ゼータ関数の零点という”魔法の数”で再現できるというリーマンの明示公式。本当にそんなことが可能なのか、理論の紹介からPythonでの数値計算まで、実際にやってみました。
ガウス過程による回帰曲線の導出

ガウス過程は関数を出力するブラックボックスのようなものです。与えられたデータにフィットするような条件付き確率を設けることで、データを補間する関数を出力する方法を学ぶことができます。
グロス・ピタエフスキー方程式(GP方程式)で超流動回してみた！

超流動状態を記述するGP方程式に、回転を司るゲージ場を導入することで、渦糸がスタックすることで渦糸格子が生じます。この格子が生じるかどうかを実際に検証してみました。
量子計量テンソルとSLD計量、量子パラメータ推定について勉強中

今日勉強したことを一旦文章でまとめてみます。
量子計量テンソルの解説 (1)：量子状態空間を“計る”とは？

量子状態の“距離”という幾何学的視点から、量子計量テンソルの必要性を直感とともに厳密に導入する。量子フィッシャー情報や Berry 曲率との統一的理解も射程に収める。
量子計量テンソルの解説(2)：量子幾何テンソルとは？

量子幾何テンソルの定義と、実部・虚部の物理的意味を直感的かつ数式で解説する。
量子計量テンソルの解説(3)：物性物理における幾何的構造

トポロジカル物質や量子相転移における量子幾何テンソルの役割を、バンド理論の数式とともに解説する。
量子計量テンソルの解説(4)：量子情報とフィッシャー情報

量子推定理論において量子幾何テンソルがどのように機能し、量子計量テンソル＝量子フィッシャー情報量として現れるかを、数式と具体例で解説する。
量子計量テンソルの解説(5)：最新の研究と応用例

量子幾何に基づく最前線の研究成果と、量子計量テンソル／ベリー曲率を活用した応用例（トポロジカル量子計算・幾何的量子制御・量子熱力学など）を紹介する。
量子計量テンソルの解説(6)：まとめと今後の展望

シリーズのまとめと、量子幾何をさらに深めるための理論的・数学的ロードマップを示す。
量子計量テンソルの解説(1)：定義と量子パラメータ推定理論

量子計量の理論的枠組みを深く探求するシリーズ第一弾。厳密な定義から始め、その核心である「量子パラメータ推定理論」との関係、そして究極の測定精度を規定する量子フィッシャー情報について詳細に解説します。

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