量子計量テンソルの解説(1)：定義と量子パラメータ推定理論

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1. はじめに

前回の記事では量子計量の基本的な概念をご紹介しました。本記事から始まる詳細解説シリーズでは、その理論的背景をさらに深く掘り下げていきます。第一弾となる今回は、量子計量のより厳密な定義から始め、その理論的根幹である量子パラメータ推定 (Quantum Parameter Estimation) との関係、そして測定精度の限界を決定づける重要な概念について解説します。

2. 量子計量のモチベーション

量子計量 (Quantum Metrology) とは、量子情報理論の一分野であり、量子状態が持つ「重ね合わせ」や「量子もつれ」といった非古典的な性質（量子リソース）を積極的に利用することで、ある物理パラメータ $\theta$ の推定精度を、古典的な手法では到達できない限界まで高めることを目指す理論体系です。

このプロセスは、以下の3つのステップに分けられます。

プローブ状態の準備: パラメータに対して敏感な初期量子状態 $|\psi_0\rangle$ を用意します。
パラメータの符号化: 推定対象のパラメータ $\theta$ に依存した変換をプローブ状態に施します。これは一般に、ハミルトニアン $H$ を用いたユニタリ変換 $U(\theta) = e^{-i\theta H}$ により、状態を $|\psi_\theta\rangle = U(\theta)|\psi_0\rangle$ に変化させる形で表現されます。

2.5 量子計量テンソルの定式化と幾何学的意味

量子状態空間における「距離」を定量的に捉えるための道具として、量子計量テンソル (Quantum Geometric Tensor, QGT) が導入されます。これは、量子状態 $|\psi(\boldsymbol{\lambda})\rangle$ が外部パラメータ $\boldsymbol{\lambda} = (\lambda_1, \lambda_2, \dots)$ に依存して変化する際の、状態間の変化の大きさを測るためのテンソル量です。

量子計量テンソルは、次のように定義されます：

g_{\mu\nu} := \mathrm{Re} \left[ \langle \partial_\mu \psi | (1 - |\psi\rangle\langle\psi|) | \partial_\nu \psi \rangle \right]

ここで $\partial_\mu = \partial / \partial \lambda_\mu$ はパラメータに関する偏微分を意味します。このテンソルは、状態空間における量子状態の微小変化に対する距離（二乗）を次のように定めます：

ds^2 = \sum_{\mu,\nu} g_{\mu\nu} d\lambda_\mu d\lambda_\nu

この量子計量テンソルがリーマン計量（=量子情報幾何における「距離」）を与え、2点間をどれだけ迂回するかを表す指標を提供します。

ブロッホ状態を用いた表式（固体物理への応用）

固体中の電子状態のように、ブロッホの定理が成り立つ系では、波数ベクトル $\boldsymbol{k}$ に依存するブロッホ状態 $|u_n(\boldsymbol{k})\rangle$ に基づいて量子計量テンソルを定義できます。

バンド指数 $n$ を固定したとき、波数空間における量子計量テンソルは次のように表されます：

g_{\mu\nu}^{(n)}(\boldsymbol{k}) = \mathrm{Re} \left[ \langle \partial_{k_\mu} u_n(\boldsymbol{k}) | (1 - |u_n(\boldsymbol{k})\rangle \langle u_n(\boldsymbol{k})|) | \partial_{k_\nu} u_n(\boldsymbol{k}) \rangle \right]

このテンソルは、バンド構造の幾何学的性質（たとえばトポロジカル絶縁体や量子異常ホール効果）に深く関与します。

幾何的意味と物理的直感

量子計量テンソルの大きさは、あるパラメータ変化に対して量子状態がどれだけ「離れる」か、すなわち変化に敏感かどうかを示す指標です。

特に重要なのは以下の点です：

量子計量が大きいほど、2点間の状態変化を「より大きく迂回」することになり、結果として2状態はより区別しやすくなります。

これは、パラメータ空間内で状態が滑らかに変化する場合でも、量子計量が大きいことで状態空間上では急激に異なる状態になる（内積が小さい）ことを意味します。この性質は量子センシングやトポロジカル物性の研究において重要な役割を果たします。

測定: 変化後の状態 $|\psi_\theta\rangle$ に対して適切な測定を行い、得られた統計的結果からパラメータ $\theta$ を推定します。

この一連のプロセスにおける中心的な問いは、「推定誤差 $\Delta\theta$ をいかにして最小化するか」です。

3. 量子パラメータ推定との関係

この問いに応えるのが量子パラメータ推定理論です。量子計量は、パラメータ推定という問題を、測定戦略や量子リソースの観点から探る応用的分野として捉えることができます。

量子パラメータ推定理論において、推定精度の限界は量子クラメール・ラオの不等式 (Quantum Cramér-Rao Bound, QCRB) により次のように与えられます。

\Delta\theta \ge \frac{1}{\sqrt{\nu F_Q(\theta)}}

ここで、 $\nu$ は独立な測定の回数、 $F_Q(\theta)$ は量子フィッシャー情報 (Quantum Fisher Information, QFI) です。

この不等式は、「いかなる測定戦略を用いても、推定誤差の下限はQFIによって決まる」ことを示しています。QFIは測定手法に依存せず、初期状態と生成ダイナミクス（ハミルトニアン）によって一意に決定されます。

純粋状態に対しては、QFIは次のように表されます。

F_Q = 4 (\Delta H)^2_{\psi_0} = 4 \left( \langle\psi_0|H^2|\psi_0\rangle - \langle\psi_0|H|\psi_0\rangle^2 \right)

これは、QFIがハミルトニアンの分散と一致することを示しています。したがって、QFIを高めるためには、 $|\psi_0\rangle$ における $H$ の揺らぎ（分散）を大きくすればよいのです。もつれ状態などを用いることでこの分散を最大化するのが、量子計量の中心的戦略です。

4. 非線形応答との関係

量子計量の拡張的研究として、非線形応答を利用した超高精度測定が提案されています。

通常のハミルトニアンは粒子数 $N$ に線形な一次の相互作用（例： $H \propto \sum_{i=1}^N \sigma_z^{(i)}$ ）で構成されます。この場合、最適化されたQFIは $F_Q \propto N^2$ に比例し、測定精度の限界はハイゼンベルク限界（ $\Delta\theta \propto 1/N$ ）と呼ばれます。

一方、 $k$ 体相互作用を含む非線形ハミルトニアン $H_k$ を考えると、理論上は次のようにQFIのスケーリングが改善される可能性があります。

F_Q \propto N^{2k}, \quad \Delta\theta \propto \frac{1}{N^k}

これはしばしば超ハイゼンベルク限界 (Super-Heisenberg Limit) と呼ばれます。

ただし、超ハイゼンベルク限界の実現可能性については議論があり、これが真の意味での測定精度向上を意味するか（実験的コスト、時間資源などを考慮した上で）は注意深い検討が必要です。それでも、この非線形応答を用いたアプローチは、量子多体系のダイナミクスを活用する挑戦的な分野として注目されています。

5. まとめ

本記事では、量子計量を量子パラメータ推定理論の枠組みで捉え、推定精度が量子フィッシャー情報によって制限されることを紹介しました。特に、QFIがハミルトニアンの分散と関係する点は、量子状態設計の指針を与えます。また、非線形相互作用によって精度の理論限界をさらに引き上げられる可能性についても概観しました。

次回の記事では、これらの理論を具体的な物理系に適用する方法を、代表的なモデル系を通じてご紹介します。

量子計量テンソルの解説(6)：まとめと今後の展望

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