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量子計量テンソルの解説 (1)：量子状態空間を“計る”とは？

#量子計量シリーズ #量子情報 #物理学 #理論
Table of Contents

この記事のゴール

  1. 量子状態空間に「距離」を導入する必然性を直感と数式の両面から理解する
  2. Fubini–Study 計量 ⇒ 量子計量テンソル ⇒ 量子幾何テンソルという流れを整理する
  3. 幾何学的量が量子推定理論・トポロジカル物性・相転移にどう現れるかを俯瞰する

1. 量子状態とは何か？

量子力学では閉じた系の 純粋状態 は正規化されたヒルベルト空間ベクトル

∣ψ⟩∈H,⟨ψ∣ψ⟩=1|\psi\rangle \in \mathcal H ,\qquad \langle\psi|\psi\rangle = 1

で表される。物理的に等価な状態は グローバル位相 を除いて同一視されるため、真に意味のある空間は射影ヒルベルト空間

P(H)={ ∣ψ⟩⟨ψ∣∣∣ψ⟩∈H,  ⟨ψ∣ψ⟩=1}  .\mathcal P(\mathcal H)=\{\,|\psi\rangle\langle\psi| \mid |\psi\rangle\in\mathcal H,\; \langle\psi|\psi\rangle=1 \}\; .

2. 距離のある量子世界

2.1 フィデリティと Fubini–Study 距離

2 つの純粋状態の フィデリティ（類似度） は

F(∣ψ⟩,∣ϕ⟩)=∣⟨ψ∣ϕ⟩∣2  .F(|\psi\rangle,|\phi\rangle)=|\langle\psi|\phi\rangle|^{2}\; .

ここから誘導される距離（曲率半径 1 に正規化された射影空間上の測地距離）は

dFS(∣ψ⟩,∣ϕ⟩)=arccos⁡ ⁣(F)  .d_{\mathrm{FS}}(|\psi\rangle,|\phi\rangle)=\arccos\!\bigl(\sqrt{F}\bigr)\; .

測定で 区別しにくいほど距離は短い──古典的ユークリッド距離と同じ発想である。

2.2 Fubini–Study 計量の微分形式

パラメータ λ=(λ1,…,λm)\boldsymbol\lambda=(\lambda^{1},\dots,\lambda^{m}) に依存する状態列 ∣ψ(λ)⟩|\psi(\boldsymbol\lambda)\rangle を考え、λ→λ+dλ\boldsymbol\lambda\to\boldsymbol\lambda+\mathrm d\boldsymbol\lambda の無限小変化を取ると

ds2:=dFS2 ⁣(∣ψ(λ)⟩,∣ψ(λ+dλ)⟩)=4(1−∣⟨ψ(λ)∣ψ(λ+dλ)⟩∣2)=∑i,jgij(λ) dλidλj+O(dλ3)  ,\begin{aligned} \mathrm d s^{2} &:= d_{\mathrm{FS}}^{2}\!\bigl(|\psi(\boldsymbol\lambda)\rangle, |\psi(\boldsymbol\lambda+\mathrm d\boldsymbol\lambda)\rangle\bigr) \\ &=4\bigl(1-|\langle\psi(\boldsymbol\lambda)|\psi(\boldsymbol\lambda+\mathrm d\boldsymbol\lambda)\rangle|^{2}\bigr) \\ &=\sum_{i,j}g_{ij}(\boldsymbol\lambda)\,\mathrm d\lambda^{i}\mathrm d\lambda^{j}+O(\mathrm d\lambda^{3})\; , \end{aligned} gij(λ)=ℜ ⁣[⟨∂iψ∣(1−∣ψ⟩⟨ψ∣)∣∂jψ⟩],∣∂iψ⟩=∂∂λi∣ψ(λ)⟩  .g_{ij}(\boldsymbol\lambda)= \Re\!\Bigl[\langle\partial_{i}\psi| \bigl(1-|\psi\rangle\langle\psi|\bigr)| \partial_{j}\psi\rangle\Bigr],\qquad |\partial_{i}\psi\rangle=\frac{\partial}{\partial\lambda^{i}}|\psi(\boldsymbol\lambda)\rangle\; .

これが 量子計量テンソル（量子計量） の実部であり、射影空間に誘導される自然なリーマン計量を与える。

3. 量子幾何テンソル：計量と Berry 曲率の統合

3.1 量子幾何テンソル（QGT）の定義

量子計量テンソルに対応する複素対称テンソル

Qij(λ)=⟨∂iψ∣(1−∣ψ⟩⟨ψ∣)∣∂jψ⟩=gij+i ΩijQ_{ij}(\boldsymbol\lambda)= \langle\partial_{i}\psi| \bigl(1-|\psi\rangle\langle\psi|\bigr)| \partial_{j}\psi\rangle = g_{ij}+i\,\Omega_{ij}

を 量子幾何テンソル と呼ぶ。

  • 実部 gij=ℜQijg_{ij}=\Re Q_{ij}：量子計量（距離の二乗）
  • 虚部 Ωij=2 ℑQij\Omega_{ij}=2\,\Im Q_{ij}：Berry 曲率

Berry 曲率をパラメータ空間で積分すれば Berry 位相が得られ、トポロジカル不変量（チャーン数など）を与える。

3.2 ブロッホ状態への適用

周期系でのブロッホ状態 ∣un(k)⟩|u_{n}(\mathbf k)\rangle（バンド nn）に対しては

gμν(n)(k)=ℜ ⁣[⟨∂kμun∣(1−∣un⟩⟨un∣)∣∂kνun⟩],g_{\mu\nu}^{(n)}(\mathbf k)= \Re\!\Bigl[ \langle\partial_{k_{\mu}}u_{n}| \bigl(1-|u_{n}\rangle\langle u_{n}|\bigr)| \partial_{k_{\nu}}u_{n}\rangle \Bigr], Ωμν(n)(k)=2 ℑ ⁣[⟨∂kμun∣∂kνun⟩].\Omega_{\mu\nu}^{(n)}(\mathbf k)= 2\,\Im\!\Bigl[ \langle\partial_{k_{\mu}}u_{n}| \partial_{k_{\nu}}u_{n}\rangle \Bigr].

これらは バンド幾何量 と呼ばれ、トポロジカル絶縁体・量子ホール効果など多くの物性現象に現れる。

4. 幾何的量が語る物理

4.1 量子相転移と臨界点

  • 臨界点付近では波動関数がパラメータ変化に 極端に敏感 となる。
  • 多くの場合 det⁡gij\det g_{ij} や Tr gij{\rm Tr}\,g_{ij} がピーク／発散し、相転移の 指標 として機能。

4.2 量子パラメータ推定と量子フィッシャー情報

量子フィッシャー情報行列は Iij=4 gijI_{ij}=4\,g_{ij}。クラメール–ラオ下限

Var⁡(λ^i)  ≥  [I−1]ii/ν\operatorname{Var}(\hat\lambda^{i})\;\ge\; [I^{-1}]^{ii}/\nu

が成り立つ。量子計量が大きいほど 小さなパラメータ変動で量子状態が遠く離れる ⇒ 測定で区別しやすい ⇒ 高精度推定が可能。

量子計量が大きい方向ほど、2 点間を大きく迂回して状態が急速に変わるため、測定で区別しやすくなる。

4.3 トポロジカル物質と応答関数

  • Berry 曲率 Ωij\Omega_{ij} の積分はホール伝導度やチャーン数に直結。
  • 量子計量と Berry 曲率の組 Tr Qij\mathrm{Tr}\,Q_{ij} は Hall viscosity にも寄与。

5. 量子計量の拡張：混合状態と Bures 距離

現実の量子デバイスでは混合状態が避けられない。混合状態 ρ(λ)\rho(\boldsymbol\lambda) では

dsBures2=12∑i,jGij dλidλj,Gij=12Tr⁡ ⁣[ρ LiLj],\mathrm d s^{2}_{\text{Bures}} =\frac12\sum_{i,j}G_{ij}\,\mathrm d\lambda^{i}\mathrm d\lambda^{j},\qquad G_{ij}=\frac12\operatorname{Tr}\!\bigl[\rho\,L_{i}L_{j}\bigr],

ここで LiL_{i} は対数微分（SLD）。GijG_{ij} は 量子フィッシャー情報行列 そのものであり、純粋状態に限らない最も一般的な量子計量となる。

6. まとめと展望

量意味関連分野
gijg_{ij}量子計量（距離の実部）推定理論・臨界現象
Ωij\Omega_{ij}Berry 曲率（距離の虚部）トポロジカル応答
QijQ_{ij}量子幾何テンソル幾何とトポロジーの統一言語
  • 量子状態空間に 距離 を導入することで、「区別のしやすさ」「物理応答の感度」「トポロジカル位相」という一見別々の概念が一つのテンソルに統合される。
  • 本テンソルの大きさや曲率は、量子センシングから量子マテリアルまで広く 実験測定可能 な量となりつつある。

次回（第 2 回）の予告

  1. 量子計量テンソル gijg_{ij} と Berry 曲率 Ωij\Omega_{ij} をスピン鎖モデルで具体計算
  2. 超ハイゼンベルク限界と非線形相互作用を例に、計量が推定精度をどう押し上げるか
  3. 実験的測定プロトコル（サイクルノイズ分光・干渉計測）と最近の成果

参考文献：arXiv 2506.17386

量子計量テンソルとSLD計量、量子パラメータ推定について勉強中
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