量子計量テンソルの解説(2)：量子幾何テンソルとは？

1. 量子幾何テンソルの正式な定義

パラメータ空間 $\boldsymbol\lambda=(\lambda^1,\dots,\lambda^m)$ 上で滑らかに変化する純粋状態
$|\psi(\boldsymbol\lambda)\rangle$ に対し、その 量子幾何テンソル（Quantum Geometric Tensor, QGT）は

1.1 エルミート分解

$Q_{ij}$ は generally 複素対称テンソルで、
$Q_{ij}=g_{ij} + \tfrac{\mathrm i}{2}\,\Omega_{ij}$ と分解できる：

• 量子計量テンソル（実部）
  $g_{ij}(\boldsymbol\lambda)=\Re\bigl[Q_{ij}(\boldsymbol\lambda)\bigr]$

• ベリー曲率（虚部）
  $\Omega_{ij}(\boldsymbol\lambda)=2\,\Im\bigl[Q_{ij}(\boldsymbol\lambda)\bigr]$

2. 量子計量テンソルと測定感度

微小パラメータ変化 $\mathrm d\boldsymbol\lambda$ に対する距離要素は

すなわち $g_{ij}$ は「どの方向に区別しやすいか」を定量化する。
量子推定理論では 量子フィッシャー情報量 が

となり、クラメール・ラオ限界
$\mathrm{Var}(\hat\lambda^i)\ge \bigl(\mathcal I_Q^{-1}\bigr)_{ii}$ を与える。

3. ベリー曲率と位相応答

Berry 接続 $A_i(\boldsymbol\lambda)=\mathrm i\langle\psi|\partial_i\psi\rangle$ を用いると、

• 位相の積分
  $\displaystyle \gamma = \oint_\mathcal C A_i\,\mathrm d\lambda^i$
  が Berry 位相。
• 曲率の積分
  $\displaystyle \int_\mathcal S \frac{\Omega_{ij}}{2}\,\mathrm d\lambda^i\wedge\mathrm d\lambda^j$
  がトポロジカル不変量（Chern 数）となり、量子ホール効果などを支配。

4. 二準位系（スピン½）での具体例

磁場 $\mathbf B=(B_x,B_y,B_z)$ による Zeeman ハミルトニアン
$H=-\tfrac{\hbar\gamma}{2}\,\mathbf B\cdot\boldsymbol\sigma$ の基底状態を取り、 球面座標 $(\theta,\phi)$ を用いる：

計算すると

• $g_{\theta\theta}$, $g_{\phi\phi}$ は Bloch 球面の半径 $1/2$ の球面計量を与える。
• $\Omega_{\theta\phi}$ は 単位磁荷 のベリー曲率で、全積分 $\int\Omega=2\pi$ は Chern 数 $=1$。

5. 物理的インプリケーション

6. まとめと次回予告

• 量子幾何テンソル $Q_{ij}$ は，その実部＝量子計量テンソル，虚部＝ベリー曲率という 2 in 1 の構造を持つ。
• 量子計量テンソルは量子フィッシャー情報と直接結び付き，クラメール・ラオ限界を決定する。
• ベリー曲率は位相応答やトポロジカル不変量を司る。

次回（第3回）は，この幾何量が 固体のバンド構造 や トポロジカル物質 にどう現れるかを詳しく探ります。