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量子計量テンソルの解説(4)：量子情報とフィッシャー情報

#量子計量シリーズ #量子情報 #物理学 #理論
Table of Contents

1. 量子推定問題の概要

未知パラメータ λ=(λ1,…,λm)\boldsymbol\lambda=(\lambda^1,\dots,\lambda^m) に依存する量子状態

ρ(λ)\rho(\boldsymbol\lambda)

から λ\boldsymbol\lambda を推定する際、測定に先立ち達成可能な精度の限界を知りたい。
この限界を与える中心量が 量子フィッシャー情報量（QFI） であり、
量子幾何テンソル QijQ_{ij} の実部＝量子計量テンソル gijg_{ij} と一致する。

2. 純粋状態の場合の QFI

パラメータ依存純粋状態 ∣ψ(λ)⟩|\psi(\boldsymbol\lambda)\rangle に対し、

Qij=⟨∂iψ∣∂jψ⟩−⟨∂iψ∣ψ⟩⟨ψ∣∂jψ⟩,gij=ℜ[Qij].Q_{ij}=\langle\partial_i\psi|\partial_j\psi\rangle -\langle\partial_i\psi|\psi\rangle \langle\psi|\partial_j\psi\rangle, \qquad g_{ij}=\Re[Q_{ij}] .

2.1 クラメール・ラオ限界（多パラメータ）

Cov(λ^) ⪰ 1N g−1,\mathrm{Cov}(\hat{\boldsymbol\lambda}) \,\succeq\, \frac{1}{N}\,g^{-1},

ここで NN は独立サンプル数。等号達成には、推定量と測定が “対応” する必要がある。

3. 混合状態での QFI

密度演算子のスペクトル分解 ρ=∑kpk∣k⟩⟨k∣\rho=\sum_k p_k |k\rangle\langle k| を用い、

gij=12∑k,l⟨k∣∂iρ∣l⟩⟨l∣∂jρ∣k⟩pk+pl,pk+pl≠0.g_{ij} =\frac12 \sum_{k,l} \frac{ \langle k|\partial_i\rho|l\rangle\langle l|\partial_j\rho|k\rangle } { p_k + p_l }, \qquad p_k+p_l\neq0.

この式は 対数導関数オペレータ LiL_i を介して
gij=12Tr ⁣[ρ{Li,Lj}]\displaystyle g_{ij}=\tfrac12\mathrm{Tr}\!\bigl[\rho\{L_i,L_j\}\bigr] とも書ける。

4. 一つの位相パラメータ：単一量子ビット例

状態

∣ψ(θ)⟩=12(∣0⟩+eiθ∣1⟩)|\psi(\theta)\rangle = \tfrac{1}{\sqrt2}\bigl(|0\rangle+e^{\mathrm i\theta}|1\rangle\bigr)

の位相 θ\theta を推定する場合、

gθθ=1,Δθmin⁡=1N.g_{\theta\theta} =1, \qquad \Delta\theta_{\min} = \frac{1}{\sqrt{N}}.

測定として {∣+⟩,∣−⟩}\{|{+}\rangle,|{-}\rangle\} 基底（パウリ XX 測定）を取れば、
クラメール・ラオ限界に到達できる。

5. 多パラメータ干渉：光学位相シフト回路

mm 本の光路位相 ϕ\boldsymbol\phi を同時推定する干渉計を考える。
入力が多モードスクイーズド状態の場合、量子計量テンソルは

gij=4(⟨n^in^j⟩−⟨n^i⟩⟨n^j⟩),g_{ij} =4\bigl(\langle\hat n_i\hat n_j\rangle -\langle\hat n_i\rangle\langle\hat n_j\rangle\bigr),

n^i\hat n_i は各モード光子数。ここから ショット雑音限界 Δϕ∝1/N\Delta\phi\propto 1/\sqrt{N} よりも
良い縮退スケーリング（ヒンターゼーン限界など）が導かれる。

6. 量子計量テンソルの設計指針

目的必要な gijg_{ij} の特徴実現手段例
高感度センサーdet⁡g\det g を最大化スクイーズド・絡み合い状態準備
ノイズに対するロバスト推定gijg_{ij} の固有値スペクトルを平坦化デコヒーレンスフリーサブスペース
並列多パラメータ推定gijg_{ij} のオフ対角成分を抑制適切なエンコーディング／測定設計

7. ベリー曲率との双対性

量子幾何テンソルの 虚部＝ベリー曲率 Ωij\Omega_{ij} は、推定量のパラメータ空間における幾何的位相を反映し、
パラメータ変動がループを描くとき測定結果に偏り（ジオメトリックポンプ）が生じる。
計量（感度）と曲率（位相）は互いに独立ながら、QGT の 2 側面として同じ数式に宿る。

8. まとめ

  • 量子幾何テンソル QijQ_{ij} の実部＝量子計量テンソルは 量子フィッシャー情報量。
  • クラメール・ラオ限界は g−1g^{-1} で決まり、最小分散推定精度を与える。
  • ベリー曲率は位相的バイアスを記述し、パラメータサイクルでのポンピング現象に関与。
  • 量子センサー設計では、gijg_{ij} をエンジニアリングしつつ、Ωij\Omega_{ij} の副作用も管理する必要がある。

次回（第5回）は、量子幾何に基づく 最新の研究成果と応用例 を概観し、トポロジカル量子計算や量子制御への展開を紹介します。

量子計量テンソルの解説(3)：物性物理における幾何的構造
量子計量テンソルの解説(5)：最新の研究と応用例