量子計量テンソルの解説(3)：物性物理における幾何的構造

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1. ブロッホ電子と量子幾何

結晶中の電子状態はブロッホ波動関数

|\psi_{n\mathbf k}\rangle = e^{\mathrm i\mathbf k\cdot\mathbf r}\,|u_{n\mathbf k}\rangle ,

で表される（ $n$ はバンド指標）。結晶運動量 $\mathbf k$ をパラメータとみなし、ブロッホ部分波動関数を

|u_{n\mathbf k}\rangle \equiv e^{-\mathrm i\mathbf k\cdot\mathbf r}\,|\psi_{n\mathbf k}\rangle

と定義すると、量子幾何テンソルは

Q^{(n)}_{\alpha\beta}(\mathbf k) = \langle\partial_\alpha u_{n\mathbf k}|\partial_\beta u_{n\mathbf k}\rangle - \langle\partial_\alpha u_{n\mathbf k}|u_{n\mathbf k}\rangle \langle u_{n\mathbf k}|\partial_\beta u_{n\mathbf k}\rangle , \qquad \partial_\alpha \equiv \frac{\partial}{\partial k_\alpha}.

量子計量テンソル（実部）
$g^{(n)}_{\alpha\beta}=\Re\bigl[Q^{(n)}_{\alpha\beta}\bigr]$
ベリー曲率（虚部）
$\Omega^{(n)}_{\alpha\beta}=2\,\Im\bigl[Q^{(n)}_{\alpha\beta}\bigr]$

外電場 $\mathbf E$ 下で電子は異常速度

\dot{\mathbf r}_\text{anom} = -\frac{e}{\hbar}\,\mathbf E \times \boldsymbol\Omega^{(n)}(\mathbf k)

を獲得する。二次元絶縁体で化学ポテンシャルがギャップ内にあるとき、全バンドの曲率を積分した Chern 数

C_n = \frac{1}{2\pi}\int_{\text{BZ}}\! \Omega^{(n)}_{k_x k_y}\; \mathrm d^2k

が量子ホール伝導度

\sigma_{xy} = \frac{e^2}{h}\sum_{n\in\text{occ}} C_n

を決定する。

量子計量テンソルは、以下のような“応答のしやすさ”に現れる。

特に二光子吸収や非線形ホール効果では、 $g$ と $\Omega$ が同時に寄与し、“量子幾何”が直接観測可能となる。

2D Dirac ハミルトニアン

H(\mathbf k)=\mathbf d(\mathbf k)\cdot\boldsymbol\sigma,\qquad \mathbf d(\mathbf k)=(A k_x,\,A k_y,\,M-Bk^2)

の下バンドに対し、

\Omega^{(-)}_{k_x k_y} = -\frac{A^2 M B}{2(E_{\mathbf k})^3},\qquad g^{(-)}_{k_x k_x}=g^{(-)}_{k_y k_y} = \frac{A^2}{4(E_{\mathbf k})^2},

E_{\mathbf k}\equiv\sqrt{A^2 k^2 + (M-Bk^2)^2}.

平坦なバンド極限では

\sum_{\alpha\beta} g^{(n)}_{\alpha\beta} \; \ge \; |\boldsymbol\Omega^{(n)}|,

という“不等式”が提案されており、広いベリー曲率を得るには十分な計量の広がりが必要であることを示唆する（量子幾何バウンド）。

ブロッホ空間における 量子幾何テンソル $Q_{ij}$ は、
実部＝量子計量テンソル が金属・絶縁体応答を、
虚部＝ベリー曲率 が異常輸送を決定する。
二バンド Dirac 例で、相転移点で計量が発散し曲率がトポロジカル不変量に跳躍する様子が見える。
量子幾何はバンド工学・光応答制御など今後の物性設計に不可欠。

次回（第4回）は、量子情報理論の立場から量子計量テンソルと 量子フィッシャー情報 の役割を掘り下げます。