経路積分から見えるベリー接続と量子計量テンソル

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命題

速い自由度を経路積分で除去すると、遅いパラメータ $\mathbf R(t)$ に対する有効ラグランジアンが

L_{\rm eff}(\mathbf R,\dot{\mathbf R}) =-E_0(\mathbf R) +\mathcal A_{0\mu}(\mathbf R)\,\dot R^\mu -\tfrac12\,g_{\mu\nu}(\mathbf R)\,\dot R^\mu\dot R^\nu +\mathcal O(\dot R^3)

の形で現れることを示す。

1. 系の定義と経路積分

量子系を「速い自由度」（電子など、 $\psi$ ）と「遅いパラメータ」（原子核位置や外部場、 $\mathbf R(t)$ ）に分ける。
全作用は

S[\psi,\psi^\dagger;\mathbf R] =\int dt\bigl[i\langle\psi|\partial_t|\psi\rangle-\langle\psi|H(\mathbf R)|\psi\rangle\bigr],

分配関数（経路積分）は

Z=\int\mathcal D[\psi^\dagger,\psi]\,e^{iS[\psi,\psi^\dagger;\mathbf R]} =\int\mathcal D\mathbf R\,e^{iS_{\rm eff}[\mathbf R]}, \quad S_{\rm eff}[\mathbf R]=\int dt\,L_{\rm eff}(\mathbf R,\dot{\mathbf R}).

瞬時ハミルトニアン： $H(\mathbf R(t))\,|n(\mathbf R)\rangle=E_n(\mathbf R)\,|n(\mathbf R)\rangle.$
全状態を固有基底で展開： $|\Psi(t)\rangle=\sum_n c_n(t)\,|n(\mathbf R(t))\rangle.$
作用に代入すると、 $S=\int dt\Bigl[ i\sum_n c_n^*\dot c_n -\sum_{n,m}c_n^*c_m\bigl(A_{nm,\mu}(\mathbf R)\dot R^\mu+E_n\delta_{nm}\bigr) \Bigr],$ ただし $A_{nm,\mu}(\mathbf R) =i\langle n(\mathbf R)|\partial_\mu m(\mathbf R)\rangle, \quad \partial_\mu\equiv\frac{\partial}{\partial R^\mu}.$

基底状態 $c_0\equiv c$ 以外の係数 $c_{n\neq0}$ は非断熱遷移で小さく、

i\dot c_n - A_{n0,\mu}\dot R^\mu\,c_0 - E_n c_n=0 \quad(n\neq0) \quad\Longrightarrow\quad c_n\simeq -\frac{A_{n0,\mu}\,\dot R^\mu}{E_n-E_0}\,c.

これをガウス積分で消去すると、基底状態のみの有効ラグランジアンが得られる。

Berry 接続項

L_{\rm eff}^{(1)}=-\,\mathcal A_{0\mu}(\mathbf R)\,\dot R^\mu, \qquad \mathcal A_{0\mu}=i\langle0|\partial_\mu0\rangle.

励起状態の寄与は $|c_n|^2\simeq\frac{A_{n0,\mu}A_{0n,\nu}}{(E_n-E_0)^2}\,\dot R^\mu\dot R^\nu, \quad \sum_{n\neq0}|c_n|^2E_n =\sum_{n\neq0}\frac{A_{n0,\mu}A_{0n,\nu}}{E_n-E_0}\,\dot R^\mu\dot R^\nu.$
定義 $G_{\mu\nu} =2\,\mathrm{Re}\sum_{n\neq0}\frac{A_{0n,\mu}A_{n0,\nu}}{E_n-E_0},$ これが $\dot R^2$ 補正の元。
完全性と non-adiabatic coupling で書き直すと $\sum_{n\neq0}A_{0n,\mu}A_{n0,\nu} =\langle\partial_\mu0|(1-|0\rangle\langle0|)|\partial_\nu0\rangle.$
量子計量テンソルの定義 $g_{\mu\nu}(\mathbf R) =\mathrm{Re}\bigl\langle\partial_\mu0\bigl|(1-|0\rangle\langle0|)\bigr|\partial_\nu0\bigr\rangle =2\,\mathrm{Re}\sum_{n\neq0} \frac{\langle0|\partial_\mu H|n\rangle\langle n|\partial_\nu H|0\rangle} {(E_n-E_0)^2}.$

量子計量テンソル項

L_{\rm eff}^{(2)}=-\tfrac12\,g_{\mu\nu}(\mathbf R)\,\dot R^\mu\dot R^\nu.

以上をまとめると、

\boxed{ L_{\rm eff}(\mathbf R,\dot{\mathbf R}) =-E_0(\mathbf R) +\mathcal A_{0\mu}(\mathbf R)\,\dot R^\mu -\tfrac12\,g_{\mu\nu}(\mathbf R)\,\dot R^\mu\dot R^\nu +\mathcal O(\dot R^3). }

量子計量テンソルと経路積分が結びつくのが面白いですね